-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 10
Expand file tree
/
Copy pathfloatingpoint.html
More file actions
559 lines (506 loc) · 51.7 KB
/
Copy pathfloatingpoint.html
File metadata and controls
559 lines (506 loc) · 51.7 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
<!DOCTYPE html>
<html lang="fa" data-content_root="../">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta property="og:title" content="15. حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها" />
<meta property="og:type" content="website" />
<meta property="og:url" content="https://docs.python.org/3/tutorial/floatingpoint.html" />
<meta property="og:site_name" content="Python documentation" />
<meta property="og:description" content="اعداد ممیز شناور در سختافزار رایانه بهصورت کسرهای مبنای ۲ (دودویی) نمایش داده میشوند. برای مثال، کسر دهدهی 0.625 دارای مقدار 6/10 + 2/100 + 5/1000 است و به همین شکل، کسر دودویی 0.101 دارای مقدا..." />
<meta property="og:image" content="_static/og-image.png" />
<meta property="og:image:alt" content="Python documentation" />
<meta name="description" content="اعداد ممیز شناور در سختافزار رایانه بهصورت کسرهای مبنای ۲ (دودویی) نمایش داده میشوند. برای مثال، کسر دهدهی 0.625 دارای مقدار 6/10 + 2/100 + 5/1000 است و به همین شکل، کسر دودویی 0.101 دارای مقدا..." />
<meta name="theme-color" content="#3776ab">
<meta property="og:image:width" content="200">
<meta property="og:image:height" content="200">
<title>15. حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها — مستندات Python3.14.6</title><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/pygments.css?v=b86133f3" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/classic.css?v=234b1a7c" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/pydoctheme.css?v=4365c8fe" />
<link id="pygments_dark_css" media="(prefers-color-scheme: dark)" rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/pygments_dark.css?v=0fc419ee" />
<script src="../_static/documentation_options.js?v=e254dbbb"></script>
<script src="../_static/doctools.js?v=9bcbadda"></script>
<script src="../_static/sphinx_highlight.js?v=dc90522c"></script>
<script src="../_static/translations.js?v=5df48d09"></script>
<script src="../_static/sidebar.js"></script>
<link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml"
title="جستجو در مستندات Python3.14.6"
href="../_static/opensearch.xml"/>
<link rel="author" title="درباره این مستندات" href="../about.html" />
<link rel="index" title="فهرست" href="../genindex.html" />
<link rel="search" title="جستجو" href="../search.html" />
<link rel="copyright" title="حق چاپ" href="../copyright.html" />
<link rel="next" title="16. پیوست" href="appendix.html" />
<link rel="prev" title="14. ویرایش ورودی تعاملی و جایگزینی تاریخچه" href="interactive.html" />
<link rel="canonical" href="https://docs.python.org/3/tutorial/floatingpoint.html">
<style>
@media only screen {
table.full-width-table {
width: 100%;
}
}
</style>
<link rel="stylesheet" href="../_static/pydoctheme_dark.css" media="(prefers-color-scheme: dark)" id="pydoctheme_dark_css">
<link rel="shortcut icon" type="image/png" href="../_static/py.svg">
<script type="text/javascript" src="../_static/copybutton.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../_static/menu.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../_static/search-focus.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../_static/themetoggle.js"></script>
<script type="text/javascript" src="../_static/rtd_switcher.js"></script>
<meta name="readthedocs-addons-api-version" content="1">
</head>
<body>
<div class="mobile-nav">
<input type="checkbox" id="menuToggler" class="toggler__input" aria-controls="navigation"
aria-pressed="false" aria-expanded="false" role="button" aria-label="Menu">
<nav class="nav-content" role="navigation">
<label for="menuToggler" class="toggler__label">
<span></span>
</label>
<span class="nav-items-wrapper">
<a href="https://www.python.org/" class="nav-logo">
<img src="../_static/py.svg" alt="Python logo">
</a>
<span class="version_switcher_placeholder"></span>
<form role="search" class="search" action="../search.html" method="get">
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20" height="20" viewBox="0 0 24 24" class="search-icon">
<path fill-rule="nonzero" fill="currentColor" d="M15.5 14h-.79l-.28-.27a6.5 6.5 0 001.48-5.34c-.47-2.78-2.79-5-5.59-5.34a6.505 6.505 0 00-7.27 7.27c.34 2.8 2.56 5.12 5.34 5.59a6.5 6.5 0 005.34-1.48l.27.28v.79l4.25 4.25c.41.41 1.08.41 1.49 0 .41-.41.41-1.08 0-1.49L15.5 14zm-6 0C7.01 14 5 11.99 5 9.5S7.01 5 9.5 5 14 7.01 14 9.5 11.99 14 9.5 14z"></path>
</svg>
<input placeholder="جستجو سریع" aria-label="جستجو سریع" type="search" name="q">
<input type="submit" value="برو">
</form>
</span>
</nav>
<div class="menu-wrapper">
<nav class="menu" role="navigation" aria-label="main navigation">
<div class="language_switcher_placeholder"></div>
<label class="theme-selector-label">
Theme
<select class="theme-selector" oninput="activateTheme(this.value)">
<option value="auto" selected>Auto</option>
<option value="light">Light</option>
<option value="dark">Dark</option>
</select>
</label>
<div>
<h3><a href="../contents.html">فهرست عناوین</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">15. حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#representation-error">15.1. خطای نمایش</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
<div>
<h4>موضوع قبلی</h4>
<p class="topless"><a href="interactive.html"
title="فصل قبلی"><span class="section-number">14. </span>ویرایش ورودی تعاملی و جایگزینی تاریخچه</a></p>
</div>
<div>
<h4>موضوع بعدی</h4>
<p class="topless"><a href="appendix.html"
title="فصل بعدی"><span class="section-number">16. </span>پیوست</a></p>
</div>
<script>
document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
const title = document.querySelector('meta[property="og:title"]').content;
const elements = document.querySelectorAll('.improvepage');
const pageurl = window.location.href.split('?')[0];
elements.forEach(element => {
const url = new URL(element.href.split('?')[0].replace("-nojs", ""));
url.searchParams.set('pagetitle', title);
url.searchParams.set('pageurl', pageurl);
url.searchParams.set('pagesource', "tutorial/floatingpoint.rst");
element.href = url.toString();
});
});
</script>
<div role="note" aria-label="source link">
<h3>این صفحه</h3>
<ul class="this-page-menu">
<li><a href="../bugs.html">گزارش یک اشکال</a></li>
<li><a class="improvepage" href="../improve-page-nojs.html">بهبود این صفحه</a></li>
<li>
<a href="https://github.com/python/cpython/blob/main/Doc/tutorial/floatingpoint.rst?plain=1"
rel="nofollow">نمایش منبع
</a>
</li>
<li>
<a href="https://github.com/python/python-docs-fa/blob/3.14/tutorial/floatingpoint.po?plain=1"
rel="nofollow">نمایش منبع ترجمه</a>
</li>
</ul>
</div>
</nav>
</div>
</div>
<div class="related" role="navigation" aria-label="Related">
<h3>ناوبری</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="../genindex.html" title="فهرست کلی"
accesskey="I">فهرست</a></li>
<li class="right" >
<a href="../py-modindex.html" title="نمایه ی ماژول های پایتون"
>ماژول ها</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="appendix.html" title="16. پیوست"
accesskey="N">بعدی</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="interactive.html" title="14. ویرایش ورودی تعاملی و جایگزینی تاریخچه"
accesskey="P">قبلی</a> |</li>
<li><img src="../_static/py.svg" alt="Python logo" style="vertical-align: middle; margin-top: -1px"></li>
<li><a href="https://www.python.org/">Python</a> »</li>
<li class="switchers">
<div class="language_switcher_placeholder"></div>
<div class="version_switcher_placeholder"></div>
</li>
<li>
</li>
<li id="cpython-language-and-version">
<a href="../index.html">3.14.6 Documentation</a> »
</li>
<li class="nav-item nav-item-1"><a href="index.html" accesskey="U">راهنمای پایتون</a> »</li>
<li class="nav-item nav-item-this"><a href=""><span class="section-number">15. </span>حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها</a></li>
<li class="right">
<div class="inline-search" role="search">
<form class="inline-search" action="../search.html" method="get">
<input placeholder="جستجو سریع" aria-label="جستجو سریع" type="search" name="q" id="search-box">
<input type="submit" value="برو">
</form>
</div>
|
</li>
<li class="right">
<label class="theme-selector-label">
Theme
<select class="theme-selector" oninput="activateTheme(this.value)">
<option value="auto" selected>Auto</option>
<option value="light">Light</option>
<option value="dark">Dark</option>
</select>
</label> |</li>
</ul>
</div>
<div class="document">
<div class="documentwrapper">
<div class="bodywrapper">
<div class="body" role="main">
<section id="floating-point-arithmetic-issues-and-limitations">
<span id="tut-fp-issues"></span><h1><span class="section-number">15. </span>حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها<a class="headerlink" href="#floating-point-arithmetic-issues-and-limitations" title="Link to this heading">¶</a></h1>
<p>اعداد ممیز شناور در سختافزار رایانه بهصورت کسرهای مبنای ۲ (دودویی) نمایش داده میشوند. برای مثال، کسر <strong>دهدهی</strong> <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.625</span></code> دارای مقدار 6/10 + 2/100 + 5/1000 است و به همین شکل، کسر <strong>دودویی</strong> <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.101</span></code> دارای مقدار 1/2 + 0/4 + 1/8 است. این دو کسر مقدار یکسانی دارند و تنها تفاوت واقعی آنها این است که اولی با نمایش کسری در مبنای ۱۰ و دومی با نمایش کسری در مبنای ۲ نوشته شده است.</p>
<p>متأسفانه بیشتر کسرهای دهدهی نمیتوانند بهطور دقیق بهصورت کسرهای دودویی نمایش داده شوند. در نتیجه، بهطور کلی، اعداد ممیز شناور دهدهی که وارد میکنید تنها تقریبی از اعداد ممیز شناور دودویی هستند که واقعاً در ماشین ذخیره میشوند.</p>
<p>درک این مشکل ابتدا در مبنای ۱۰ آسانتر است. کسر 1/3 را در نظر بگیرید. میتوانید آن را بهصورت یک کسر دهدهی تقریبی نمایش دهید:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mf">۰.۳</span>
</pre></div>
</div>
<p>یا حتی بهتر،:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mf">۰.۳۳</span>
</pre></div>
</div>
<p>یا حتی بهتر،:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mf">۰.۳۳۳</span>
</pre></div>
</div>
<p>و به همین ترتیب ادامه دهید. مهم نیست چند رقم را بنویسید، نتیجه هرگز دقیقاً برابر با 1/3 نخواهد شد، اما هرچه ارقام بیشتری بنویسید، تقریب بهتری از 1/3 به دست میآید.</p>
<p>به همین شکل، مهم نیست چند رقم مبنای ۲ استفاده کنید، مقدار دهدهی 0.1 نمیتواند بهطور دقیق بهصورت یک کسر مبنای ۲ نمایش داده شود. در مبنای ۲، 1/10 کسری بینهایت تکرارشونده است:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mf">۰.۰۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱۰۰۱۱</span><span class="o">...</span>
</pre></div>
</div>
<p>اگر در هر تعداد محدود بیت متوقف شوید، یک مقدار تقریبی به دست میآورید. در بیشتر ماشینهای امروزی، اعداد ممیز شناور با استفاده از یک کسر دودویی تقریبی نمایش داده میشوند که صورت آن از ۵۳ بیت اول، از مهمترین بیت شروعشده، تشکیل شده و مخرج آن توانی از ۲ است. در مورد 1/10، کسر دودویی برابر با <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">3602879701896397</span> <span class="pre">/</span> <span class="pre">2</span> <span class="pre">**</span> <span class="pre">55</span></code> است که به مقدار واقعی 1/10 نزدیک است، اما دقیقاً برابر آن نیست.</p>
<p>بسیاری از کاربران به دلیل نحوهٔ نمایش مقادیر، از این تقریب آگاه نیستند. پایتون تنها یک تقریب دهدهی از مقدار دهدهی واقعیِ مقدار دودویی ذخیرهشده در ماشین را چاپ میکند. در بیشتر ماشینها، اگر پایتون مقدار دهدهی واقعیِ تقریب دودویی ذخیرهشده برای 0.1 را چاپ میکرد، مجبور بود مقدار زیر را نمایش دهد:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mf">0.1</span>
<span class="go">0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625</span>
</pre></div>
</div>
<p>این تعداد رقم بیشتر از چیزی است که بیشتر افراد مفید میدانند، بنابراین پایتون با نمایش یک مقدار گرد شده، تعداد ارقام را در حد قابلمدیریت نگه میدارد:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mi">1</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">10</span>
<span class="go">0.1</span>
</pre></div>
</div>
<p>فقط به یاد داشته باشید که با وجود اینکه نتیجهٔ چاپشده مانند مقدار دقیق 1/10 به نظر میرسد، مقدار واقعی ذخیرهشده نزدیکترین کسر دودویی قابل نمایش است.</p>
<p>جالب است بدانید که چندین عدد دهدهی متفاوت میتوانند همان نزدیکترین کسر دودویی تقریبی را داشته باشند. برای مثال، اعداد <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.1</span></code> و <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.10000000000000001</span></code> و <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625</span></code> همگی با <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">3602879701896397</span> <span class="pre">/</span> <span class="pre">2</span> <span class="pre">**</span> <span class="pre">55</span></code> تقریب زده میشوند. از آنجا که همهٔ این مقادیر دهدهی یک تقریب یکسان دارند، هرکدام از آنها میتوانند نمایش داده شوند و همچنان شرط ثابت <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">eval(repr(x))</span> <span class="pre">==</span> <span class="pre">x</span></code> برقرار بماند.</p>
<p>در گذشته، اعلان پایتون و تابع داخلی <a class="reference internal" href="../library/functions.html#repr" title="repr"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">repr()</span></code></a> مقداری را با 17 رقم معنادار انتخاب میکردند: <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.10000000000000001</span></code>. از پایتون 3.1 به بعد، پایتون (در بیشتر سیستمها) قادر است کوتاهترین مقدار از میان این نمایشها را انتخاب کند و بهسادگی <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">0.1</span></code> را نمایش دهد.</p>
<p>توجه داشته باشید که این موضوع ذاتاً بخشی از ممیز شناور دودویی است: این یک باگ در پایتون نیست و در کد شما نیز اشکالی وجود ندارد. همین رفتار را در تمام زبانهایی که از محاسبات ممیز شناور سختافزار شما پشتیبانی میکنند خواهید دید (اگرچه برخی زبانها ممکن است این تفاوت را بهصورت پیشفرض یا در همهٔ حالتهای خروجی نمایش ندهند).</p>
<p>برای خروجی خواناتر، میتوانید از قالببندی رشتهها استفاده کنید تا تعداد محدودی رقم معنادار تولید شود:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="nb">format</span><span class="p">(</span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">pi</span><span class="p">,</span> <span class="s1">'.12g'</span><span class="p">)</span> <span class="c1"># نمایش ۱۲ رقم معنادار</span>
<span class="go">'3.14159265359'</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">format</span><span class="p">(</span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">pi</span><span class="p">,</span> <span class="s1">'.2f'</span><span class="p">)</span> <span class="c1"># نمایش ۲ رقم پس از ممیز</span>
<span class="go">'3.14'</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">repr</span><span class="p">(</span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">pi</span><span class="p">)</span>
<span class="go">'3.141592653589793'</span>
</pre></div>
</div>
<p>مهم است بدانید که این، از یک نظر واقعی، یک توهم است: شما تنها نمایش مقدار واقعی ماشین را گرد میکنید.</p>
<p>یک توهم میتواند باعث ایجاد توهم دیگری شود. برای مثال، از آنجا که 0.1 دقیقاً برابر با 1/10 نیست، جمع سه مقدار 0.1 نیز ممکن است دقیقاً برابر با 0.3 نشود:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">==</span> <span class="mf">0.3</span>
<span class="go">False</span>
</pre></div>
</div>
<p>همچنین، چون 0.1 نمیتواند به مقدار دقیق 1/10 نزدیکتر شود و 0.3 نیز نمیتواند به مقدار دقیق 3/10 نزدیکتر شود، گرد کردن اولیه با تابع <a class="reference internal" href="../library/functions.html#round" title="round"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">round()</span></code></a> کمکی نمیکند:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">1</span><span class="p">)</span> <span class="o">+</span> <span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">1</span><span class="p">)</span> <span class="o">+</span> <span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">1</span><span class="p">)</span> <span class="o">==</span> <span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">1</span><span class="p">)</span>
<span class="go">False</span>
</pre></div>
</div>
<p>اگرچه این اعداد نمیتوانند به مقادیر دقیق موردنظرشان نزدیکتر شوند، تابع <a class="reference internal" href="../library/math.html#math.isclose" title="math.isclose"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">math.isclose()</span></code></a> میتواند برای مقایسهٔ مقادیر تقریبی مفید باشد:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">isclose</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span><span class="p">,</span> <span class="mf">0.3</span><span class="p">)</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>روش دیگر این است که برای مقایسهٔ تقریبهای کلی از تابع <a class="reference internal" href="../library/functions.html#round" title="round"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">round()</span></code></a> استفاده کنید:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">pi</span><span class="p">,</span> <span class="n">ndigits</span><span class="o">=</span><span class="mi">2</span><span class="p">)</span> <span class="o">==</span> <span class="nb">round</span><span class="p">(</span><span class="mi">22</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">7</span><span class="p">,</span> <span class="n">ndigits</span><span class="o">=</span><span class="mi">2</span><span class="p">)</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>محاسبات ممیز شناور دودویی شگفتیهای زیادی مانند این دارند. مشکل مربوط به "0.1" در ادامه، در بخش «خطای نمایش» با جزئیات دقیق توضیح داده شده است. همچنین <a class="reference external" href="https://jvns.ca/blog/2023/01/13/examples-of-floating-point-problems/">Examples of Floating Point Problems</a> را ببینید که خلاصهای قابلفهم از نحوهٔ کار ممیز شناور دودویی و مشکلات رایج آن در عمل ارائه میدهد. برای توضیح کاملتر سایر شگفتیهای رایج نیز <a class="reference external" href="http://www.indowsway.com/floatingpoint.htm">The Perils of Floating Point</a> را ببینید.</p>
<p>همانطور که در پایان آن توضیح داده شده است، «پاسخ سادهای وجود ندارد.» با این حال، نباید بیش از حد از اعداد ممیز شناور بترسید! خطاهای موجود در عملیات float پایتون از سختافزار محاسبات ممیز شناور به ارث میرسند و در بیشتر ماشینها برای هر عملیات، در حدود حداکثر ۱ واحد از هر 2**53 واحد هستند. این مقدار برای بیشتر کارها کاملاً کافی است، اما باید در نظر داشته باشید که این محاسبات، حساب دهدهی نیستند و هر عملیات ممیز شناور میتواند با یک خطای گرد کردن جدید همراه شود.</p>
<p>با وجود اینکه حالتهای غیرعادی و مشکلزا وجود دارند، در بیشتر استفادههای معمول از محاسبات ممیز شناور، اگر نمایش نتایج نهایی خود را به تعداد ارقام اعشاری مورد انتظارتان گرد کنید، در نهایت نتیجهای را که انتظار دارید مشاهده خواهید کرد. تابع <a class="reference internal" href="../library/stdtypes.html#str" title="str"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">str()</span></code></a> معمولاً کافی است و برای کنترل دقیقتر، مشخصکنندههای قالببندی متد <a class="reference internal" href="../library/stdtypes.html#str.format" title="str.format"><code class="xref py py-meth docutils literal notranslate"><span class="pre">str.format()</span></code></a> را در <a class="reference internal" href="../library/string.html#formatstrings"><span class="std std-ref">Format string syntax</span></a> ببینید.</p>
<p>برای مواردی که به نمایش دقیق اعشاری نیاز دارند، استفاده از ماژول <a class="reference internal" href="../library/decimal.html#module-decimal" title="decimal: Implementation of the General Decimal Arithmetic Specification."><code class="xref py py-mod docutils literal notranslate"><span class="pre">decimal</span></code></a> را امتحان کنید. این ماژول محاسبات اعشاری مناسب برای برنامههای حسابداری و کاربردهای با دقت بالا را پیادهسازی میکند.</p>
<p>شکل دیگری از محاسبات دقیق توسط ماژول <a class="reference internal" href="../library/fractions.html#module-fractions" title="fractions: Rational numbers."><code class="xref py py-mod docutils literal notranslate"><span class="pre">fractions</span></code></a> پشتیبانی میشود که محاسبات را بر اساس اعداد گویا انجام میدهد (بنابراین اعدادی مانند 1/3 میتوانند بهطور دقیق نمایش داده شوند).</p>
<p>اگر استفاده زیادی از عملیات ممیز شناور دارید، بهتر است نگاهی به بسته NumPy و بسیاری از بستههای دیگر برای محاسبات ریاضی و آماری که توسط پروژه SciPy ارائه شدهاند بیندازید. به <a class="reference external" href="https://scipy.org">https://scipy.org</a> مراجعه کنید.</p>
<p>پایتون ابزارهایی ارائه میدهد که در آن موارد نادری که واقعاً <em>میخواهید</em> مقدار دقیق یک عدد ممیز شناور را بدانید، میتوانند کمککننده باشند. متد <a class="reference internal" href="../library/stdtypes.html#float.as_integer_ratio" title="float.as_integer_ratio"><code class="xref py py-meth docutils literal notranslate"><span class="pre">float.as_integer_ratio()</span></code></a> مقدار یک عدد ممیز شناور را بهصورت یک کسر نمایش میدهد:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">x</span> <span class="o">=</span> <span class="mf">3.14159</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">x</span><span class="o">.</span><span class="n">as_integer_ratio</span><span class="p">()</span>
<span class="go">(3537115888337719, 1125899906842624)</span>
</pre></div>
</div>
<p>از آنجا که این نسبت دقیق است، میتوان از آن برای بازسازی مقدار اصلی بدون هیچگونه از دست رفتن اطلاعات استفاده کرد:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">x</span> <span class="o">==</span> <span class="mi">3537115888337719</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">1125899906842624</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>متد <a class="reference internal" href="../library/stdtypes.html#float.hex" title="float.hex"><code class="xref py py-meth docutils literal notranslate"><span class="pre">float.hex()</span></code></a> یک عدد ممیز شناور را به شکل هگزادسیمال (مبنای ۱۶) نمایش میدهد و دوباره مقدار دقیقی را که توسط کامپیوتر شما ذخیره شده است ارائه میکند:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">x</span><span class="o">.</span><span class="n">hex</span><span class="p">()</span>
<span class="go">'0x1.921f9f01b866ep+1'</span>
</pre></div>
</div>
<p>این نمایش دقیق هگزادسیمال میتواند برای بازسازی دقیق مقدار عدد ممیز شناور استفاده شود:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">x</span> <span class="o">==</span> <span class="nb">float</span><span class="o">.</span><span class="n">fromhex</span><span class="p">(</span><span class="s1">'0x1.921f9f01b866ep+1'</span><span class="p">)</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>از آنجا که این نمایش دقیق است، برای انتقال مطمئن مقادیر بین نسخههای مختلف پایتون (مستقل از پلتفرم) و تبادل داده با زبانهای دیگری که از همین قالب پشتیبانی میکنند (مانند Java و C99) مفید است.</p>
<p>یکی دیگر از ابزارهای مفید، تابع <a class="reference internal" href="../library/functions.html#sum" title="sum"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">sum()</span></code></a> است که به کاهش از دست رفتن دقت هنگام جمع کردن مقادیر کمک میکند. این تابع هنگام اضافه شدن مقادیر به یک مجموع در حال محاسبه، از دقت گستردهتر برای مراحل میانی گرد کردن استفاده میکند. این موضوع میتواند دقت کلی را بهبود دهد تا خطاها به اندازهای انباشته نشوند که روی مجموع نهایی تأثیر بگذارند:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">+</span> <span class="mf">0.1</span> <span class="o">==</span> <span class="mf">1.0</span>
<span class="go">False</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">sum</span><span class="p">([</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">]</span> <span class="o">*</span> <span class="mi">10</span><span class="p">)</span> <span class="o">==</span> <span class="mf">1.0</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>تابع <a class="reference internal" href="../library/math.html#math.fsum" title="math.fsum"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">math.fsum()</span></code></a> حتی فراتر میرود و تمام «ارقام از دسترفته» را هنگام اضافه شدن مقادیر به یک مجموع در حال محاسبه دنبال میکند، بهگونهای که نتیجه تنها یک بار گرد میشود. این تابع کندتر از <a class="reference internal" href="../library/functions.html#sum" title="sum"><code class="xref py py-func docutils literal notranslate"><span class="pre">sum()</span></code></a> است، اما در موارد غیرمعمولی که مقادیر بزرگ تا حد زیادی یکدیگر را خنثی میکنند و مجموع نهایی نزدیک به صفر میشود، دقت بیشتری خواهد داشت:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">arr</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[</span><span class="o">-</span><span class="mf">0.10430216751806065</span><span class="p">,</span> <span class="o">-</span><span class="mf">266310978.67179024</span><span class="p">,</span> <span class="mf">143401161448607.16</span><span class="p">,</span>
<span class="gp">... </span> <span class="o">-</span><span class="mf">143401161400469.7</span><span class="p">,</span> <span class="mf">266262841.31058735</span><span class="p">,</span> <span class="o">-</span><span class="mf">0.003244936839808227</span><span class="p">]</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">float</span><span class="p">(</span><span class="nb">sum</span><span class="p">(</span><span class="nb">map</span><span class="p">(</span><span class="n">Fraction</span><span class="p">,</span> <span class="n">arr</span><span class="p">)))</span> <span class="c1"># جمع دقیق با یک گرد کردن نهایی</span>
<span class="go">8.042173697819788e-13</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">math</span><span class="o">.</span><span class="n">fsum</span><span class="p">(</span><span class="n">arr</span><span class="p">)</span> <span class="c1"># یک گرد کردن نهایی</span>
<span class="go">8.042173697819788e-13</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">sum</span><span class="p">(</span><span class="n">arr</span><span class="p">)</span> <span class="c1"># چندین گرد کردن با دقت گسترده</span>
<span class="go">8.042178034628478e-13</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">total</span> <span class="o">=</span> <span class="mf">0.0</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="k">for</span> <span class="n">x</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">arr</span><span class="p">:</span>
<span class="gp">... </span> <span class="n">total</span> <span class="o">+=</span> <span class="n">x</span> <span class="c1"># چندین گرد کردن با دقت استاندارد</span>
<span class="gp">...</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">total</span> <span class="c1"># جمع مستقیم هیچ رقم صحیحی ندارد!</span>
<span class="go">-0.0051575902860057365</span>
</pre></div>
</div>
<section id="representation-error">
<span id="tut-fp-error"></span><h2><span class="section-number">15.1. </span>خطای نمایش<a class="headerlink" href="#representation-error" title="Link to this heading">¶</a></h2>
<p>این بخش مثال "0.1" را با جزئیات توضیح میدهد و نشان میدهد که چگونه میتوانید خودتان تحلیل دقیقی از چنین مواردی انجام دهید. فرض بر این است که با نحوه نمایش اعداد ممیز شناور دودویی آشنایی ابتدایی دارید.</p>
<p><em class="dfn">Representation error</em> به این واقعیت اشاره دارد که برخی (در واقع بیشتر) کسرهای دهدهی نمیتوانند بهطور دقیق به شکل کسرهای دودویی (مبنای ۲) نمایش داده شوند. این دلیل اصلی آن است که پایتون (یا Perl، C، C++، Java، Fortran و بسیاری زبانهای دیگر) اغلب عدد اعشاری دقیقی را که انتظار دارید نمایش نمیدهد.</p>
<p>چرا چنین است؟ 1/10 نمیتواند بهطور دقیق به شکل یک کسر دودویی نمایش داده شود. از سال ۲۰۰۰ میلادی تاکنون، تقریباً همه ماشینها از محاسبات ممیز شناور دودویی IEEE 754 استفاده میکنند و تقریباً همه پلتفرمها اعداد float پایتون را به مقادیر «دقت مضاعف» "IEEE 754 binary64" نگاشت میکنند. مقادیر IEEE 754 binary64 دارای ۵۳ بیت دقت هستند، بنابراین هنگام ورود مقدار، کامپیوتر تلاش میکند "0.1" را به نزدیکترین کسری که به شکل <em>J</em>/2** <em>N</em> است تبدیل کند؛ جایی که <em>J</em> یک عدد صحیح با دقیقاً ۵۳ بیت است. بازنویسی</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mi">1</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">10</span> <span class="o">~=</span> <span class="n">J</span> <span class="o">/</span> <span class="p">(</span><span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="n">N</span><span class="p">)</span>
</pre></div>
</div>
<p>به شکل</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="n">J</span> <span class="o">~=</span> <span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="n">N</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">10</span>
</pre></div>
</div>
<p>و با یادآوری اینکه <em>J</em> دقیقاً ۵۳ بیت دارد (یعنی <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">>=</span> <span class="pre">2**52</span></code> اما <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre"><</span> <span class="pre">2**53</span></code> است)، بهترین مقدار برای <em>N</em> برابر ۵۶ است:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="mi">52</span> <span class="o"><=</span> <span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="mi">56</span> <span class="o">//</span> <span class="mi">10</span> <span class="o"><</span> <span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="mi">53</span>
<span class="go">True</span>
</pre></div>
</div>
<p>یعنی ۵۶ تنها مقدار <em>N</em> است که باعث میشود <em>J</em> دقیقاً ۵۳ بیت داشته باشد. سپس بهترین مقدار ممکن برای <em>J</em>، همان خارجقسمت گرد شده است:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">q</span><span class="p">,</span> <span class="n">r</span> <span class="o">=</span> <span class="nb">divmod</span><span class="p">(</span><span class="mi">2</span><span class="o">**</span><span class="mi">56</span><span class="p">,</span> <span class="mi">10</span><span class="p">)</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">r</span>
<span class="go">6</span>
</pre></div>
</div>
<p>از آنجا که باقیمانده بیشتر از نصف ۱۰ است، بهترین تقریب با گرد کردن به بالا به دست میآید:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="n">q</span><span class="o">+</span><span class="mi">1</span>
<span class="go">7205759403792794</span>
</pre></div>
</div>
<p>بنابراین بهترین تقریب ممکن برای "1/10" در دقت مضاعف IEEE 754 برابر است با:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mi">7205759403792794</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">56</span>
</pre></div>
</div>
<p>تقسیم صورت و مخرج بر دو، این کسر را به شکل زیر ساده میکند:</p>
<div class="highlight-python3 notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="mi">3602879701896397</span> <span class="o">/</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">55</span>
</pre></div>
</div>
<p>توجه کنید که چون به بالا گرد کردیم، این مقدار در واقع کمی بزرگتر از 1/10 است؛ اگر به بالا گرد نمیکردیم، خارجقسمت کمی کوچکتر از 1/10 میشد. اما در هیچ حالتی نمیتواند <em>دقیقاً</em> برابر 1/10 باشد!</p>
<p>بنابراین کامپیوتر هرگز مقدار 1/10 را «نمیبیند»؛ چیزی که میبیند همان کسر دقیق بالا است، یعنی بهترین تقریب دقت مضاعف IEEE 754 که میتواند به دست آورد:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mf">0.1</span> <span class="o">*</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">55</span>
<span class="go">3602879701896397.0</span>
</pre></div>
</div>
<p>اگر آن کسر را در 10**55 ضرب کنیم، میتوانیم مقدار را تا ۵۵ رقم اعشار مشاهده کنیم:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="mi">3602879701896397</span> <span class="o">*</span> <span class="mi">10</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">55</span> <span class="o">//</span> <span class="mi">2</span> <span class="o">**</span> <span class="mi">55</span>
<span class="go">1000000000000000055511151231257827021181583404541015625</span>
</pre></div>
</div>
<p>یعنی مقدار دقیق ذخیرهشده در کامپیوتر برابر با مقدار اعشاری زیر است:
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
بهجای نمایش مقدار کامل اعشاری، بسیاری از زبانها (از جمله نسخههای قدیمیتر پایتون) نتیجه را تا ۱۷ رقم معنادار گرد میکنند:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="nb">format</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">,</span> <span class="s1">'.17f'</span><span class="p">)</span>
<span class="go">'0.10000000000000001'</span>
</pre></div>
</div>
<p>ماژولهای <a class="reference internal" href="../library/fractions.html#module-fractions" title="fractions: Rational numbers."><code class="xref py py-mod docutils literal notranslate"><span class="pre">fractions</span></code></a> و <a class="reference internal" href="../library/decimal.html#module-decimal" title="decimal: Implementation of the General Decimal Arithmetic Specification."><code class="xref py py-mod docutils literal notranslate"><span class="pre">decimal</span></code></a> انجام این محاسبات را آسان میکنند:</p>
<div class="highlight-pycon notranslate"><div class="highlight"><pre><span></span><span class="gp">>>> </span><span class="kn">from</span><span class="w"> </span><span class="nn">decimal</span><span class="w"> </span><span class="kn">import</span> <span class="n">Decimal</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="kn">from</span><span class="w"> </span><span class="nn">fractions</span><span class="w"> </span><span class="kn">import</span> <span class="n">Fraction</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">Fraction</span><span class="o">.</span><span class="n">from_float</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">)</span>
<span class="go">Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">)</span><span class="o">.</span><span class="n">as_integer_ratio</span><span class="p">()</span>
<span class="go">(3602879701896397, 36028797018963968)</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="n">Decimal</span><span class="o">.</span><span class="n">from_float</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">)</span>
<span class="go">Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')</span>
<span class="gp">>>> </span><span class="nb">format</span><span class="p">(</span><span class="n">Decimal</span><span class="o">.</span><span class="n">from_float</span><span class="p">(</span><span class="mf">0.1</span><span class="p">),</span> <span class="s1">'.17'</span><span class="p">)</span>
<span class="go">'0.10000000000000001'</span>
</pre></div>
</div>
</section>
</section>
<div class="clearer"></div>
</div>
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar" role="navigation" aria-label="Main">
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<div>
<h3><a href="../contents.html">فهرست عناوین</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">15. حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#representation-error">15.1. خطای نمایش</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
<div>
<h4>موضوع قبلی</h4>
<p class="topless"><a href="interactive.html"
title="فصل قبلی"><span class="section-number">14. </span>ویرایش ورودی تعاملی و جایگزینی تاریخچه</a></p>
</div>
<div>
<h4>موضوع بعدی</h4>
<p class="topless"><a href="appendix.html"
title="فصل بعدی"><span class="section-number">16. </span>پیوست</a></p>
</div>
<script>
document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
const title = document.querySelector('meta[property="og:title"]').content;
const elements = document.querySelectorAll('.improvepage');
const pageurl = window.location.href.split('?')[0];
elements.forEach(element => {
const url = new URL(element.href.split('?')[0].replace("-nojs", ""));
url.searchParams.set('pagetitle', title);
url.searchParams.set('pageurl', pageurl);
url.searchParams.set('pagesource', "tutorial/floatingpoint.rst");
element.href = url.toString();
});
});
</script>
<div role="note" aria-label="source link">
<h3>این صفحه</h3>
<ul class="this-page-menu">
<li><a href="../bugs.html">گزارش یک اشکال</a></li>
<li><a class="improvepage" href="../improve-page-nojs.html">بهبود این صفحه</a></li>
<li>
<a href="https://github.com/python/cpython/blob/main/Doc/tutorial/floatingpoint.rst?plain=1"
rel="nofollow">نمایش منبع
</a>
</li>
<li>
<a href="https://github.com/python/python-docs-fa/blob/3.14/tutorial/floatingpoint.po?plain=1"
rel="nofollow">نمایش منبع ترجمه</a>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="sidebarbutton" title="تا کردن نوار کناره">
<span>«</span>
</div>
</div>
<div class="clearer"></div>
</div>
<div class="related" role="navigation" aria-label="Related">
<h3>ناوبری</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="../genindex.html" title="فهرست کلی"
>فهرست</a></li>
<li class="right" >
<a href="../py-modindex.html" title="نمایه ی ماژول های پایتون"
>ماژول ها</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="appendix.html" title="16. پیوست"
>بعدی</a> |</li>
<li class="right" >
<a href="interactive.html" title="14. ویرایش ورودی تعاملی و جایگزینی تاریخچه"
>قبلی</a> |</li>
<li><img src="../_static/py.svg" alt="Python logo" style="vertical-align: middle; margin-top: -1px"></li>
<li><a href="https://www.python.org/">Python</a> »</li>
<li class="switchers">
<div class="language_switcher_placeholder"></div>
<div class="version_switcher_placeholder"></div>
</li>
<li>
</li>
<li id="cpython-language-and-version">
<a href="../index.html">3.14.6 Documentation</a> »
</li>
<li class="nav-item nav-item-1"><a href="index.html" >راهنمای پایتون</a> »</li>
<li class="nav-item nav-item-this"><a href=""><span class="section-number">15. </span>حساب ممیز شناور: مشکلات و محدودیتها</a></li>
<li class="right">
<div class="inline-search" role="search">
<form class="inline-search" action="../search.html" method="get">
<input placeholder="جستجو سریع" aria-label="جستجو سریع" type="search" name="q" id="search-box">
<input type="submit" value="برو">
</form>
</div>
|
</li>
<li class="right">
<label class="theme-selector-label">
Theme
<select class="theme-selector" oninput="activateTheme(this.value)">
<option value="auto" selected>Auto</option>
<option value="light">Light</option>
<option value="dark">Dark</option>
</select>
</label> |</li>
</ul>
</div>
<div class="footer">
© <a href="../copyright.html">حق چاپ</a> 2001 Python Software Foundation.
<br>
This page is licensed under the Python Software Foundation License Version 2.
<br>
Examples, recipes, and other code in the documentation are additionally licensed under the Zero Clause BSD License.
<br>
See <a href="/license.html">History and License</a> for more information.<br>
<br>
The Python Software Foundation is a non-profit corporation.
<a href="https://www.python.org/psf/donations/">Please donate.</a>
<br>
<br>
آخرین بروز رسانی در اوت 18, 2026 (04:23 UTC) .
<a href="/bugs.html">Found a bug</a>?
<br>
ایجاد شده با<a href="https://www.sphinx-doc.org/">Sphinx</a> 8.2.3.
</div>
</body>
</html>